** Construction d'un espace tropical dans un zoo

Un parc zoologique décide de construire un dôme sphérique de 102 mètres de diamètre afin de créer une zone tropicale. La hauteur de ce dôme doit être de 77 mètres.
Le dôme est modélisé par une calotte sphérique représentée ci-dessous.

On admet que les droites (AE) et (OA) sont perpendiculaires en A.

1. Justifier que OA = 26 m.

2. Calculer la longueur AE en mètres. On donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie au centimètre près.

3. Déterminer la mesure, en degré, de l'angle \(\widehat {\text{AEO}}\).

4. On s'intéresse à la surface au sol occupée par le dôme. On admet que l'intersection entre le sol et le dôme est le cercle de centre A et de rayon AE.
Calculer, au mètre carré près, l'aire de cette surface.

5. On admet que le volume d'une calotte sphérique de hauteur \(h\) et de rayon \(R\) est : 
\(V=\dfrac{\pi h^2}{3}(3R-h)\).
À l'aide de cette expression, calculer le volume du dôme de la future zone tropicale. Arrondir au mètre cube près.